Условие задачи:

Определить плотность шарообразной планеты, если вес тела на полюсе в 2 раза больше, чем на экваторе. Период вращения планеты вокруг своей оси 2 ч 40 мин.

Задача №2.5.15 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(P_п=2P_э), (T=2; ч; 40; мин), (rho-?)

Решение задачи:

Тело на экваторе вращается вместе с планетой по окружности радиуса (R) (радиус планеты). Применим второй закон Ньютона:

[mg — {N_э} = m{a_ц};;;;(1)]

Тело на полюсе лежит на оси вращения планеты, поэтому оно вращается лишь вокруг себя. Первый закон Ньютона для этого тела даст такое равенство:

[mg = {N_п};;;;(2)]

По третьему закону Ньютона сила реакции опоры ((N_э) и (N_п)) равна весу тела ((P_э) и (P_п) соответственно). Учтите, что эти силы хоть и равны по величине, но противоположны по направлению и приложены к разным телам. С учетом этого запишем равенства (1) и (2) в такой системе:

[left{ begin{gathered}
{P_э} = mg — m{a_ц} hfill \
{P_п} = mg hfill \
end{gathered} right.]

Поделим нижнее равенство на верхнее. Так как (P_п=2P_э), то получим:

[frac{g}{{g — {a_ц}}} = 2]

[2g — 2{a_ц} = g]

[g = 2{a_ц};;;;(3)]

Поскольку в задаче нужно узнать среднюю плотность планеты (rho), то запишем такие формулы: во-первых, формулу определения ускорения свободного падения (g) на поверхности планеты, во-вторых, формулу определения массы через плотность и объем, в-третьих, формулу определения объема шара.

[g = Gfrac{M}{{{R^2}}};;;;(4)]

[M = rho  cdot V;;;;(5)]

[V = frac{4}{3}pi {R^3};;;;(6)]

Подставив (6) в (5), а полученное в (4), получим:

[g = frac{4}{3}pi Grho R;;;;(7)]

Чтобы выразить центростремительное ускорение (a_ц) через период вращения планеты (T) запишем такие формулы: формулу определения ускорения (a_ц) через угловую скорость (omega) и формулу связи последней с периодом вращения (T).

[{a_ц} = {omega ^2}R]

[omega  = frac{{2pi }}{T}]

В итоге:

[{a_ц} = frac{{4{pi ^2}}}{{{T^2}}}R;;;;(8)]

Подставим выражения (7) и (8) в ранее полученное равенство (3):

[frac{4}{3}pi Grho R = frac{{8{pi ^2}}}{{{T^2}}}R]

[rho  = frac{{6pi }}{{G{T^2}}}]

Переведем данный в условии период вращения (T) в систему СИ (в секунды):

[T = 2;ч;40;мин = 2 cdot 3600 + 40 cdot 60; с = 9600; с]

Посчитаем ответ:

[rho  = frac{{6 cdot 3,14}}{{6,67 cdot {{10}^{ — 11}} cdot {{9600}^2}}} = 3065; кг/м^3 approx 3,07; г/см^3]

Ответ: 3,07 г/см³.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Источник: EasyFizika.ru

Все что без индекса это некоторая планета
а все что с индекс.
;ая космическая скорость определяется по формуле 
υ’=√(G*(M’ / (R’+h))
(‘)- я обозначил то что для каждой планеты меняется 
υ=√(G*(m / (2R₁+h))
υ₁=√(G*(m₁ / (R₁+h))
подставим m и m₁ и потом разделим 1ое уравнение на 2ое
получим
υ/υ₁=√[( 8*(R₁+h))  /  (2R₁+h)] 
h-очень мало поэтому получим
υ/υ₁=√4=2

Источник: otvet-master.ru

То, что планеты Солнечной системы значительно различаются по своему размеру, является хорошо известным фактом.

Так, например, планеты внутренней части нашей системы имеют меньшие размеры, но являются более плотными, чем газовые или ледяные гиганты, располагающиеся во внешней части Солнечной системы. А в ряде случаев, планеты могут быть даже меньше, чем некоторые спутники. Однако размер планеты не обязательно пропорционален его массе.

Таким образом, в то время как Меркурий может быть меньше по размеру, чем спутник Юпитера Ганимед или спутник Сатурна Титан, он более чем в два раза массивнее этих спутников. И в то время как Юпитер в 318 раз массивнее Земли, его радиус лишь в 11,21 раза больше земного.

Давайте пройдёмся по каждой из планет и посмотрим, насколько они различаются.

Меркурий

Со средним диаметром 4879 километров (3031,67 миль) Меркурий является самой маленькой планетой Солнечной системы. Он также является второй (после Земли) по плотности планетой: 5,427 г/см³.

Меркурий, как и другие планеты земной группы состоит из силикатных пород и минералов, а также железного ядра, которое в отличии от других планет является аномально большим по отношению к коре и мантии. Таким образом масса Меркурия составляет около 0,330*10²⁴ кг., что эквивалентно 0,055 массы Земли. Сила меркурианского притяжения составляет всего 3,7 м/с².

Венера

Венера, которая из-за сходства состава, размера и массы порой часто именуется “сестрой Земли” имеет плотность 5,243 г/см³. Она является второй планетой от Солнца, а её средний радиус составляет примерно 6050 километров (3759,3 миль). Таким образом масса планеты достигает 4,87*10²⁴ кг., что эквивалентно 0,815 массы Земли. Учитывая плотность и размеры, сила тяжести на Венере сопоставима с Земной и равна примерно 8,87 м/с².

Земля

Как и другие планеты внутренней части Солнечной системы, Земля также состоит из металлов и силикатов. Со средним радиусом 6371 километров (3 958 миль) и средней плотностью 5,514 г/м³, она является наиболее крупной и самой плотной, из планет земной группы. Масса Земли достигает 5,97*10²⁴ кг., а сила земного притяжения, как все вы знаете равна 9,8 м/с².

Марс

Марс является третьей по величине планетой земной группы. Как и другие, Марс состоит из металлов и силикатных пород, но в то время как он примерно в два раза меньше Земли (со средним диаметром 6792 километров, или 4220 миль), его масса составляет всего одну десятую массы Земли.

Короче говоря, Марс имеет массу 0,642*10²⁴ кг., или примерно 0,11 массы Земли. Учитывая размеры и плотность (составляющую 3,9335 г/см³) сила притяжения на Марсе не превышает 3,8 м/с².

Юпитер

Юпитер является самой крупной планетой в Солнечной системе. Учитывая то, что его средний диаметр равен 142984 километров, в нём могут поместиться все другие планеты нашей системы (кроме Сатурна). Однако с массой 1898*10²⁴ кг., Юпитер почти в 2,5 раза массивнее всех других планет в Солнечной системе вместе взятых. Тем не менее, как газовый гигант, он имеет более низкую общую плотность, чем планеты земной группы. Его средняя плотность равна 1,326 г/см³.

Сатурн

Сатурн является вторым по величине газовым гигантом; и со средним диаметром 120536 километров, он всего лишь немного меньше, чем Юпитер. Тем не менее, он значительно менее массивен, чем его двоюродный брат Юпитер. С массой 569*10²⁴ кг. Сатурн в 95 раз массивнее Земли, однако его плотность составляет всего 0,687 г/см³. Сатурн является единственной планетой в Солнечной системе, которая имеет меньшую плотность, чем вода (1 г/см³).

Уран

Средний диаметр Урана равен 120536 километров, он является третьей по величине планетой в Солнечной системе. С массой 86,8*10²⁴ кг., Уран – это четвёртая наиболее массивная планета. Средняя плотность, таким образом, достигает 1,271 г/см³.

Нептун

Нептун примерно в четыре раза больше Земли (диаметр 49528 километров), а его масса равна 102*10²⁴ кг. Таким образом плотность Нептуна больше, чем плотность любого из газовых гигантов (1,638 г/см³).

Исходя из вышесказанного, вы можете увидеть, что массы планет Солнечной системы значительно варьируются. Но если мы говорим о плотности, то она не всегда пропорциональна размерам. Короче говоря, в то время как некоторые планеты могут быть всего в несколько раз больше, чем другие, они при этом могут быть во много и много раз более массивными.

Источник: universetoday.ru